الدوال العددية

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 1حدد مجموعة تعريف الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي : f(x)=1x+1 | f(x)=3x−13x2−6x | f(x)=1|x+1| |
f(x)=5|x|+1|x|−2 | f(x)=2x−12x2−3x+1 | −2x+15+|x| |
−4x2−2x+6 | 1x2−5x+6 | 1x|x|+1 |
{f(x)=x−1;x≥2f(x)=1x;x≺2 | f(x)=2x2−3x+1 | f(x)=x+1x−1 |

البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 2قارن في كل حالة من الحالات التالية الدالتين العدديتين f و g للمتغير الحقيقي x .
f(x)=3x−4 و g(x)=3x2−10x+8x−2
f(x)=(1−x)2 و g(x)=1−x
f(x)=2x−1x+1 و g(x)=2x−1x+1
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 3مثل مبيانيا الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x في الحالات التالية : f(x)=|x|−2 | f(x)=|x−2| | f(x)=|x|−|x−1|−2
f(x)=|x|+2x | f(x)=|x−1|−3x+1 | f(x)=|x−1|−|x+1|
f(x)=32x | {f(x)=x−2;x≤1f(x)=−x≺1 | {f(x)=12x+1f(x)=−2x+2

البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 4نعتبر الدالة العددية g للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي : g(x)=|x+3|+|x−3|−|x|
بين أن الدالة g زوجية.
اكتب g(x) بدون استعمال القيمة المطلقة .
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 5نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي: f(x)=x2−4x+2
ادرس رتابة f على كل من المجالين ]−∞;2] و [2;+∞[
نعتبر الدالة العددية h للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي: h(x)=x3−x
ادرس رتابة الدالة h على المجالين [33;+∞[ و ]−∞;−33]
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 6نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي : f(x)=3x2−6x+5
حدد حيز تعريف الدالة f.
اكتب f(x) على شكلها القانوني.
بوضعك X=x−1 و Y=y−2 اثبت أن منحنى الدالة f شلجما محددا عناصره المميزة.
ضع جدول تغيرات الدالة f.
انشئ منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i→,j→)
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 7نعتبر الدالة العددية hللمتعير الحقيقي x المعرفة بما يلي : h(x)=2x−3x+3
حدد مجموعة تعريف الدالة h.
أثبت أن لكل x من مجموعة تعريف الدالة h لدينا : h(x)=2−9x+3
بوضعك Y=y−2 و X=x+3 مع y=f(x) أثبت أن منحنى الدالة h هدلولا محددا عناصره المميزة.
ضع جدول تغيرات الدالة h.
انشئ منحنى الدالة h في معلم متعامد ممنظم (O,i→,j→)
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 8نعتبر الدالتين العدديتين f و g المعرفتين بما يلي : f(x)=(x+1)2+a و g(x)=b−2x+1 حيث a و b عددان حقيقيان.
حدد قيمة a لكي تكون النقطة S(−1;−1) رأس الشلجم (Cf)
حدد قيمة b لكي تكون النقطة A(−1;2) مركز الهدلول (Cg)
نفترض أن f(x)=x2+2x و g(x)=2xx+1
حدد زوج احداثيتي نقطتي تقاطع (Cf) و (Cg)
انشئ في معلم متعامد ممنظم المنحنيين (Cf) و (Cg)

حل مبيانيا في ℝ المتراجحة f(x)≥g(x)
تحقق حسابيا من مجموعة الحلول المحصل عليها.
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------

جواب التمرين 1
لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x.
مجموعة تعريف الدالة f هي مجموعة الأعداد x التي لها صورة بالدالة f.
f(x)=2x−12x2−3x+1
={x∈ℝ/f(x)∈ℝ} Df
={x∈ℝ/2x2−3x+1≠0}
=ℝ−{x∈ℝ/2x2−3x+1=0}

لنحل في المجموعة ℝ المعادلة 2x2−3x+1=0 . هنا لحساب المميز و الحلول.
لدينا x2=12;x1=1;Δ=1 إذن Df=ℝ−{12;1} أي Df=]−∞;12[∪]12;1[∪]1;+∞[
f(x)=−4x2−2x+6
Df={x∈ℝ/−4x2−2x+6≥0}
لندرس إشارة الثلاثية −4x2−2x+6 . هنا لحساب المميز و الجذور.
لدينا x2=−32;x1=1;Δ=100 و عليه فإن جدول الإشارة كالتالي:



إذن : Df=[−32;1]

التمرين

--------------------------------------------------------------------------------

جواب التمرين 2
Df=ℝ;Dg=ℝ−{2}
بما أن Df≠Dg فإن f≠g
Df=Dg=ℝ ، لكن لكل x≻1 :=(1−x)2 f(x)
=|1−x|
=x−1
≠g(x)
إذن f≠g


التمرين

--------------------------------------------------------------------------------

جواب التمرين 3
f:x↦|x|−2الدالة f:x↦|x|−2 تآلفية بمجالات أي : {f(x)=x−2;(x≥0)f(x)=−x−2;(x≤0)

f:x↦|x|−|x−1|−2لكل x من ℝلدينا :



إذن f دالة تآلفيية بمجالات أي : {f(x)=−2x+1;(x≤0)f(x)=1;(0≤x≤1)f(x)=2x−1;(x≥1) .



التمرين

--------------------------------------------------------------------------------

جواب التمرين 4
لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x، و Df مجموعة تعريفها حيث لكل x من Df لدينا −x∈Df

اذا كان لكل x من Df ، f(−x)=f(x) فإن f دالة زوجية.
اذا كان لكل x من Df، f(−x)=−f(x) فإن f دالة فردية

التمرين

--------------------------------------------------------------------------------

جواب التمرين 5
لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x و Df مجموعة تعريغها.
العدد f(x)−f(y)x−y حيث x و y عددين من Df مختلفين يسمى معدل تغير الدالة fبين العددين x و y.
ليكن I مجال ضمن Df.
اذا كان لكل x و y ، f(x)−f(y)x−y≻0، (f(x)−f(y)x−y≥0) فإن f دالة تزايدية قطعا(تزايدة)على المجال I.
ليكن I مجال ضمن Df.
اذا كان لكل x و y ، f(x)−f(y)x−y≺0 ، (f(x)−f(y)x−y≤0) فإن f دالة تناقصية قطعا(تناقصية)على المجال I.
f:x↦x2−4x+2ليكن x و y عنصرين من ℝ مختلفين ، لنحسب معدل تغير الدالة f بينهما :
=(x2−4x+2)−(y2−4y+2)x−y f(x)−f(y)x−y
=(x2−y2)−4(x−y)x−y
=(x−y)(x+y−4)x−y
=x+y−4

على المجال [2;+∞[ لدينا :
x≥2 و y≥2 إذن x+y≥4. و بما أن x≠y فإن x+y≻4 أي x+y−4≻0
خلاصة: بما أن لكل x و y من المجال [2;+∞[ ، f(x)−f(y)x−y=x+y−4≻0 فإن الدالة f تزايدية قطعا على المجال [2;+∞[.
بالمثل نثبت أن الدالة f تناقصية قطعا على المجال ]−∞;2]

بنتضار مزيد من مثل هده المواضيع