المستقيم في المستوى

المستقيم في المستوى

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 1في المستوى منسوب الى معلم (O,i→,j→) نعتبر النقط A(2;4) و B(4;-1) و C(-2;-2) و D(-4;3)
انشئ الشكل. ماهي طبيعة الرباعي ABCD ؟ علل جوابك
لتكن E نقطة من المستوى حيث ABEC متوازي الأضلاع . احسب احداثيتي النقطة E
ماذا يمكنك القول عن النقط D و C و E ؟ علل جوابك.
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 2ليكن ABC مثلثا و A' منتصف القطعة [BC].
D و E نقطتين من المستوى بحيث CD→=13AB→ و BE→=13AC→
Iمنتصف القطعة [DE]
انشئ الشكل
حدد احداثيات النقط A,A',I بالنسبة للمعلم (A,AB→,AC→) .ثم استنتج ان النقط A,A',I مستقيمية .
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 3ليكن ABCD مربعا ,E نقطة داخل المربع و F نقطة خارج المربع بحيث ECD و BFC مثلثات متساويات الاضلاع
حدد احداثيات النقط Aو E و F بالنسبة للمعلم (D,DC→,DA→)
استنتج ان النقط Aو E و F مستقيمية.
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 4في االمستوى منسوب الى معلم (O,i→,j→) نعتبر النقط A(2;3) و B(−1;−2)
حدد معادلة للمستقيم (AB)
حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (D) الموازي ل (O,i→) و المار من A
حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (D') الموازي ل (O,j→) و المار من B
احسب احداثيتي النقطة C تقاطع المستقيمين (D) و (D')
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 5في المستوى المنسوب الى المعلم (O,i→,j→) نعتبر النقط A(1;2);B(2;3);C(3;1)
احسب احداثيات AB→ و AC→ ثم بين أنهما غير مستقيميتين
حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (D) المار من A و الموازي للمستقيم (BC)
حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (Δ) المار من النقطة C و الموجه بالمتجهة AB→
حدد احداثيات النقطة E تقاطع (D) و (Δ)
ما هي طبيعة الرباعي ABCE ؟ علل جوابك.
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 6في المستوى المنسوب الى المعلم (O,i→,j→) نعتبر المستقيم (Δ) المار من النقطتين A(2;4) و B(−2,1)
اكتب تمثيلا بارامتريا للمستقيم (Δ)
هل النقطة E(3;5) تنتمي الى المستقيم (Δ)؟ علل جوابك.
حدد نقطتي تقاطع المستقيم (Δ) مع محوري المعلم .
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 7المستوى منسوب الى معلم (O,i→,j→)
اكتب تمثيلا بارامتريا للمستقيم (Δ) الذي معادلته الديكارتية هي : x−5y+3=0
اكتب معادلة ديكارتية للمستقيم (D):{x=3+2ty=5+3t(t∈ℝ)
ادرس تقاطع المستقيمين (D) و (Δ)
البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------
التمرين 8المستوى منسوب الى معلم (O,i→,j→) . ادرس الوضع النسبي للمستقيمين (D) و (Δ) في الحالات التالية:



(Δ):−4x+6y+3=0(D):2x−3y+1=0


(Δ):4x−2y−6=0(D):6x−3y−9=0


(Δ):4x+2y+7=0(D):{x=1−ty=−2+2t(t∈ℝ)


(Δ):{x=1+ty=−2−t(t∈ℝ)(D):{x=−1−2sy=4+2s(s∈ℝ)


(Δ):4x−y−3=0(D):{x=2+ty=5+4t(t∈ℝ)


(Δ):{x=3−ty=2+5t(t∈ℝ)(D):{x=43−3ky=7k+53(k∈ℝ)

البداية

الجواب

--------------------------------------------------------------------------------

جواب التمرين 1

تذكير
A و B و C و D نقط غير مستقيمية .
ABCD متوازي الأضلاع يكافئ AB→=DC→



لدينا AB→(4−2;−1−4) أي AB→(2;−5) و DC→(−2+4;−2−3) أي DC→(2;−5)
بما أن AB→=DC→ فإن َABCD متوازي الأضلاع.
لتكن E(x;y) . لدينا AB→(2;−5) و CE→(x+2;y+2) .
بما أن َABEC متوازي الأضلاع فإن AB→=CE→ أي {x+2=2y+2=−5 يكافئ {x=0y=−7 إذن E(0;−7)
نعلم أن DC→(2;−5) و CE→(2;−5).
بما أن CE→=DC→ فإن CE→ و DC→ متجهتان مستقيميتان أي : النقط D و C و E مستقيمية.

التمرين

--------------------------------------------------------------------------------

جواب التمرين 2

تذكير
[AB] قطعة منتصفها I و M نقطة من المستوى.
لدينا MI→=12(MA→+MB→)







لدينا : =12(AE→+AD→) AI→
=12(AB→+BE→+AC→+CD→)
=12(AB→+13AC→+AC→+13AB→)
=23AB→+23AC→
إذن I(23;23)

لدينا =12(AB→+AC→) AA'→
=12AB→+12AC→
إذن A'(12;12)

بما أن A أصل المعلم (A,AB→,AC→) فإن A(0;0)


استنتاج

لدينا AI→(23;23) و AA'→(12;12)
بما ان =|12231223| det⁡(AA'→,AI→)
=26−26=0
فإن AI→ و AA'→ مستقيميتان أي I و A و A' نقط مستقيمية.

التمرين

--------------------------------------------------------------------------------

جواب التمرين 3





احداثيات A

بما أن المستوى منسوب الى المعلم (D,DC→,DA→) فإن A(0,1)


احداثيات E

ليكن I و J منتصفي [DC] و [AD] على التوالي .
نعلم أن I(12;0) و J(0;12) بالنسبة للأساس (DC→,DA→) . وبما أن DEC متساوي الاضلاع فإن المستقيم (EI) هو واسط القطعة [DC] ، إذن (EI)//(DA) وعليه فإن E و I لهما نفس الأفصول 12 إذن E(12;y) زائد أن DC=DE أي 1=(12)2+y2 يكافئ y2=1−14=34 أي y=±32 وبما أن E داخل المربع ABCD فإن 0≺y≺1 أي y=32E(12,32)


احداثيات F


بنفس التحليل السابق نثبت F و J لهما نفس الأرتوب أي F(x,12) و بما أن BC=CF فإن 1=(x−1)2+(12)2 يكافئ x−1=±32 يكافئ x=3+22 أو x=−3+22 و بما أن F خارج المربع فإن x≻1 أي x=3+22 إذن F(3+22,12)
من أجل ذلك يكفي أن تثبت استقامية متجهتين
[center][left]

واصل......